Поиск |
Сообщения за день |
30.03.2014, 07:12 | ||||
|
||||
|
Фрактал ГерасимоваЯ обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. "Берега" сделаем гладкими, для простоты эксперимента. Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради. Или используя JavaScript реализацию алгоритма Английская версия: New kind of fractals - Fractals in relatively prime integers (coprime integers) Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправить луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал). На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм. Gif-анимация: Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры. Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, "фрактал" - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия. Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75) ... Одна сторона: (n); Вторая сторона: (n+1)=(n)+(n-1); 17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343 Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29. Дальше фракталы циклически повторяются. Если большая сторона четная, получается такой узор: Если меньшая сторона четная: Если обе стороны нечетные - получаем симметрически узор: В зависимости от того, как начинается луч: или Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках. Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе. Луч выходит в той-же точке, откуда зашел. При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число. Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала. Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до "начала" фрактала. Похоже на спираль Фибоначчи? Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы. В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ... По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. F(n)=F(n-1)+F(n-2) F(0)=0, F(1)=1 Поехали: Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала. При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на . Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон: Получим тот-же фрактал. Те-же фракталы можно получить в квадрате, если пускать луч под другим углом: Что можно сказать в заключении? Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину. Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению. Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего. Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать "модель" поведения волны на обычном листке в клеточку. Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга. Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если "словить" такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частици – это такие-же фракталы? Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80: Замкнутые области во фракталах: Просто красивый фрактал: Javascript реализация фрактала Оригинал: Пару слов об Интерференции волн Статья на хабре: Фрактал Герасимова Источник Список последних тем раздела: |
|||
|