30.03.2014, 07:12
  #1
Аватар для Ramjes
Ramjes
Прекрасно
 
Рег: 02.02.2006
Адрес: Москва
Сообщения: 12,216
Благодарности: 9,913
Сказали спасибо 20,819 раз в 7,013 сообщениях
Знак зодиака: Стрелец
Ramjes
Прекрасно

Аватар для Ramjes

Фрактал Герасимова

Изображение solium.ru

Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. "Берега" сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма



Английская версия: New kind of fractals - Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправить луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Изображение solium.ru

Gif-анимация:

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru
Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru
Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru
Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, "фрактал" - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75) ...
Одна сторона: (n);
Вторая сторона: (n+1)=(n)+(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

Дальше фракталы циклически повторяются.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Изображение solium.ru

Если меньшая сторона четная:

Изображение solium.ru

Если обе стороны нечетные - получаем симметрически узор:

Изображение solium.ru

Изображение solium.ru

В зависимости от того, как начинается луч:
Изображение solium.ru
или
Изображение solium.ru

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Изображение solium.ru

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

Изображение solium.ru

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до "начала" фрактала.

Изображение solium.ru

Похоже на спираль Фибоначчи?

Изображение solium.ru

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ...
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Изображение solium.ru

Поехали:

Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru
Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru Изображение solium.ru

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

Изображение solium.ru

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на Изображение solium.ru.

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Изображение solium.ru

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Изображение solium.ru

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать "модель" поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если "словить" такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частици – это такие-же фракталы?

Изображение solium.ru

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80:
Изображение solium.ru

Замкнутые области во фракталах:
Изображение solium.ru

Просто красивый фрактал:
Изображение solium.ru

Javascript реализация фрактала
Оригинал: Пару слов об Интерференции волн
Статья на хабре: Фрактал Герасимова
Источник
Ramjes вне форума  

Фрактал Герасимова Фрактал Герасимова - Рейтинг темы: 5.00 из 5.00 проголосовавших: 2
Теги
вычисление, герасимов, математика, мозг, паттерн, узор, фрактал, числа
Опции
Оценка этой теме
Оценка этой теме:


 

 

Powered by vBulletin® & Vbadvanced CMPS. Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Перевод: ZCarot, Lazek, Ramjes. Системная поддержка: AbiGeuS, VBsupport.org Solium.ru: Copyright & Copyleft

Solium был основан 1 февраля 2006 года, как объединяющий просветительский проект на стыке областей. Он помогает заглянуть в "сверхъестественную" часть нашей жизни, чтобы лучше понять самих себя и руководствуясь этим знанием, образовать гармоничное и светлое будущее в едином Содужестве заинтересованных людей. Присоединяйтесь?

После регистрации Вы сможете создавать свои темы и отвечать на сообщения.

Яндекс.Метрика
проверить доступность